¿Cómo resolver ecuaciones de segundo
grado por factorización?
Para resolver ecuaciones de segundo
grado o cuadrática por factorización (o también llamado por descomposición en
factores), es necesario que el trinomio de la forma ax2 +
bx + c = 0 sea factorizable por un término en común o aplicando
un producto notable.
Para esto,
1° Deberás simplificar la ecuación
dada y dejarla de la forma ax2 + bx + c = 0.
2° Factorizar el trinomio del primer
miembro de la ecuación, para obtener el producto de binomios.
3° Igualar a cero cada uno de los
factores, esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual
a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero. Luego, se
resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo.
Ejemplos:
a) Resuelve por factorización la
ecuación X2 - x - 6 = 0
- En este caso la ecuación se
encuentra simplificada, entonces factorizamos e igualamos a cero los factores;
Respuesta: Las raíces de la
ecuación son -2 y 3.
b) Resuelve por factorización la
ecuación x ( x – 1) – 5 (x – 2) = 2
- En este ejercicio es necesario
simplificar la ecuación y ordenarla;
Resolución de
ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados
Completar el
cuadrado es un método usado para resolver una ecuación cuadrática por el cambio de la
forma de la ecuación para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.
Para resolver ax 2 + bx + c =
0 completando el cuadrado:
1. Transforme la ecuación para que el término constante, c ,
esté solo en el lado derecho.
2. Si a , el coeficiente
principal (el coeficiente del término x 2 ),
no es igual a 1, divida ambos lados entre a .
3. Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x ,
en ambos lados de la ecuación.
4. Factorice el lado izquierdo como el cuadrado de un binomio.
5. Realice la raíz cuadrada en ambos
lados. (Recuerde: ( x + q ) 2 = r es
equivalente a
.
6. Resuelva para x .
Ejemplo 1:
Resuelva x 2 – 6 x – 3 = 0 completando el
cuadrado.
Ejemplo 2:
Resuelva: 7 x 2 –
8 x + 3 = 0
Resolución de
ecuaciones de segundo grado usando formula cuadrática
Puedes
resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte
de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de
una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que. A
esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.
Esta
fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o
imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el
cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación
de la forma ax2 + bx + c = 0.
La fórmula cuadrática
funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en
la forma estándar,
. Para usarla, sigue estos pasos.
· Pon primero la
ecuación en su forma estándar.
· Identifica los
coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de
incluir los signos negativos si los términos bx o c se
restan.
· Sustituye los
valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.
· Simplifica lo
más posible.
· Usa el ± en
frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la
raíz cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.
· Simplifica
ambos valores para obtener las posibles soluciones.
Son bastantes pasos.
Intentemos usar la fórmula cuadrática para primero resolver una ecuación
relativamente simple; luego volveremos a resolver usando otro método de
factorización.
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Ejemplo
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Problema
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Usar la fórmula
cuadrática para resolver la ecuación x2 + 4x =
5.
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x2 +
4x = 5
x2 + 4x – 5 = 0
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Primero escribe la ecuación en
su forma estándar.
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a = 1, b =
4, c = −5
Observa que el signo de resta
significa que la constante c es negativa.
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Sustituye los valores en la
fórmula cuadrática.
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Simplifica, teniendo cuidado de
usar los signos correctos.
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Simplifica un poco más.
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Simplifica el radical:
.
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o
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Separa y simplifica para
encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Observa que en una, se
suma 6 y en la otra se resta 6..
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Respuesta
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x = 1 o −5
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Puedes comprobar
estas soluciones sustituyendo 1 y −5 en la ecuación original.
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x = 1
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x = −5
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x2 + 4x = 5
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x2 + 4x = 5
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(1)2 +
4(1) = 5
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(−5)2 +
4(−5) = 5
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1 + 4 =
5
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25 ‒ 20
= 5
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5 = 5
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5 = 5
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Obtienes enunciados válidos,
por lo que sabes que ambas soluciones funcionan: x = 1 o −5.
¡Has resuelto con éxito una ecuación usando la fórmula cuadrática!
