Resolución de ecuaciones de segundo grado

 

¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?

Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadrática por factorización (o también llamado por descomposición en factores), es necesario  que el trinomio de la forma  ax² + bx + c = 0 sea factorizable por un término en común o aplicando un producto notable.

Para esto,

1° Deberás simplificar la ecuación dada y dejarla de la forma ax² + bx + c = 0.

2° Factorizar el trinomio del primer miembro de la ecuación, para obtener el producto de binomios.

3° Igualar a cero cada uno de los factores, esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero.  Luego, se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo.

Ejemplos:

a) Resuelve por factorización la ecuación X² - x - 6 = 0

- En este caso la ecuación se encuentra simplificada, entonces factorizamos e igualamos a cero los factores; 

Respuesta: Las raíces de la ecuación son -2 y 3.

 

b) Resuelve por factorización la ecuación x ( x – 1) – 5 (x – 2) = 2

- En este ejercicio es necesario simplificar la ecuación y ordenarla; 

Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados

Completar el cuadrado es un método usado para resolver una ecuación cuadrática por el cambio de la forma de la ecuación para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto. 

Para resolver ax ² + bx + c = 0 completando el cuadrado:

      1.  Transforme la ecuación para que el término constante, c , esté solo en el lado derecho.

      2.  Si a , el coeficiente principal (el coeficiente del término x ² ), no es igual a 1, divida ambos lados entre a .

    3.  Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x ,   en ambos lados de la ecuación.

      4.  Factorice el lado izquierdo como el cuadrado de un binomio.

      5.  Realice la raíz cuadrada en ambos lados.  (Recuerde: ( x + q ) ² = r es equivalente a   .

      6.  Resuelva para x .

Ejemplo 1:

Resuelva x ² – 6 x – 3 = 0 completando el cuadrado.

Ejemplo 2:

Resuelva: 7 x ² – 8 x + 3 = 0

 

 

Resolución de ecuaciones de segundo grado usando formula cuadrática

Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que. A esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.

 

 

La fórmula cuadrática funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en la forma estándar,  . Para usarla, sigue estos pasos.

 

· Pon primero la ecuación en su forma estándar.

 

· Identifica los coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c se restan.

 

· Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.

 

· Simplifica lo más posible.

 

· Usa el ± en frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la raíz cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.

 

·  Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.

 

Son bastantes pasos. Intentemos usar la fórmula cuadrática para primero resolver una ecuación relativamente simple; luego volveremos a resolver usando otro método de factorización.

 

 

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 + 4x = 5.
	x2 + 4x = 5 x2 + 4x – 5 = 0		Primero escribe la ecuación en su forma estándar.
			a = 1, b = 4,  c = −5   Observa que el signo de resta significa que la constante c es negativa.
			Sustituye los valores en la fórmula cuadrática.
			Simplifica, teniendo cuidado de usar los signos correctos.
			Simplifica un poco más.
			Simplifica el radical:  .
	o		Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Observa que en una, se suma 6 y en la otra se resta 6..
Respuesta	x = 1 o −5

 

Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo 1 y −5 en la ecuación original.

 

x = 1	x = −5
x2 + 4x = 5	x2 + 4x = 5
(1)2 + 4(1) = 5	(−5)2 + 4(−5) = 5
1 + 4 = 5	25 ‒ 20 = 5
5 = 5	5 = 5

 

Obtienes enunciados válidos, por lo que sabes que ambas soluciones funcionan: x = 1 o −5. ¡Has resuelto con éxito una ecuación usando la fórmula cuadrática!